Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie

Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie

Albert Einstein

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Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie

(Gemeinverständlich)

Von

A. EINSTEIN

Mit 3 Figuren

[Illustration]

+Braunschweig+

+Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn+

Herausgeber dieses Heftes ist Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. +Karl Scheel+

+Alle Rechte vorbehalten+

Vorwort.

Das vorliegende Büchlein soll solchen eine möglichst exakte Einsicht in die Relativitätstheorie vermitteln, die sich vom allgemein wissenschaftlichen, philosophischen Standpunkt für die Theorie interessieren, ohne den mathematischen Apparat der theoretischen Physik zu beherrschen. Die Lektüre setzt etwa Maturitätsbildung und — trotz der Kürze des Büchleins — ziemlich viel Geduld und Willenskraft beim Leser voraus. Der Verfasser hat sich die größte Mühe gegeben, die Hauptgedanken möglichst deutlich und einfach vorzubringen, im ganzen in solcher Reihenfolge und in solchem Zusammenhange, wie sie tatsächlich entstanden sind. Im Interesse der Deutlichkeit erschien es mir unvermeidlich, mich oft zu wiederholen, ohne auf die Eleganz der Darstellung die geringste Rücksicht zu nehmen; ich hielt mich gewissenhaft an die Vorschrift des genialen Theoretikers +L. Boltzmann+, man solle die Eleganz Sache der Schneider und Schuster sein lassen. Schwierigkeiten, die in der Sache begründet liegen, glaube ich dem Leser nicht vorenthalten zu haben. Dagegen habe ich die empirischen physikalischen Unterlagen der Theorie absichtlich stiefmütterlich behandelt, damit es dem der Physik ferner stehenden Leser nicht ergehe wie dem Wanderer, der vor lauter Bäumen keinen Wald sieht. Möge das Büchlein manchem einige frohe Stunden der Anregung bringen!

Dezember 1916.

+A. Einstein.+

Die mathematischen Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie findet man in den bei B. G. Teubner in der Monographiensammlung „Fortschritte der mathematischen Wissenschaften“ unter dem Titel „Das Relativitätsprinzip“ erschienenen Originalabhandlungen von +H. A. Lorentz+, +A. Einstein+, +H. Minkowski+, sowie in +M. Laue+s ausführlichem Buche „Das Relativitätsprinzip“ (Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig). Die allgemeine Relativitätstheorie nebst den zugehörigen mathematischen Hilfsmitteln der Invariantentheorie ist in der Broschüre des Verfassers, „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“ (Joh. Ambr. Barth, 1916) behandelt; diese Broschüre setzt einige Vertrautheit mit der speziellen Relativitätstheorie voraus.

Erster Teil.

Über die spezielle Relativitätstheorie.

§ 1. Physikalischer Inhalt geometrischer Sätze.

Gewiß hast auch du, lieber Leser, als Knabe oder Mädchen mit dem stolzen Gebäude der Geometrie Euklids Bekanntschaft gemacht und erinnerst dich vielleicht mit mehr Achtung als Liebe an den stolzen Bau, auf dessen hohen Treppen du von gewissenhaften Fachlehrern in ungezählten Stunden umhergejagt wurdest. Gewiß würdest du kraft dieser deiner Vergangenheit jeden mit Verachtung strafen, der auch nur das abgelegenste Sätzchen dieser Wissenschaft für unwahr erklärte. Aber dies Gefühl stolzer Sicherheit verließe dich vielleicht sogleich, wenn dich einer fragte: „Was meinst du denn mit der Behauptung, daß diese Sätze wahr seien?“ Bei dieser Frage wollen wir ein wenig verweilen.

Die Geometrie geht aus von gewissen Grundbegriffen, wie Ebene, Punkt, Gerade, mit denen wir mehr oder minder deutliche Vorstellungen zu verbinden imstande sind, und von gewissen einfachen Sätzen (Axiomen), die wir auf Grund jener Vorstellungen als „wahr“ hinzunehmen geneigt sind. Alle übrigen Sätze werden dann auf Grund einer logischen Methode, deren Berechtigung wir uns anzuerkennen genötigt fühlen, auf jene Axiome zurückgeführt, d. h. bewiesen. Ein Satz ist dann richtig bzw. „wahr“, wenn er in der anerkannten Weise aus den Axiomen hergeleitet ist. Die Frage nach der „Wahrheit“ der einzelnen geometrischen Sätze führt also zurück auf die Frage nach der „Wahrheit“ der Axiome. Längst aber ist es bekannt, daß die letztere Frage nicht nur durch die Methoden der Geometrie nicht beantwortbar, sondern überhaupt an sich ohne Sinn ist. Man kann nicht fragen, ob es wahr sei, daß durch zwei Punkte nur +eine+ Gerade hindurchgeht. Man kann nur sagen, daß die Euklidische Geometrie von Gebilden handelt, die sie „Gerade“ nennt, und denen sie die Eigenschaft beilegt, durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt zu sein. Der Begriff „wahr“ paßt nicht auf die Aussagen der reinen Geometrie, weil wir mit dem Worte „wahr“ in letzter Linie stets die Übereinstimmung mit einem „realen“ Gegenstande zu bezeichnen pflegen; die Geometrie aber befaßt sich nicht mit der Beziehung ihrer Begriffe zu den Gegenständen der Erfahrung, sondern nur mit dem logischen Zusammenhang dieser Begriffe untereinander.

§ 6. Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik.

Der schon oft betrachtete Eisenbahnwagen fahre mit der konstanten Geschwindigkeit _v_ auf dem Geleise. Im Eisenbahnwagen durchschreite ein Mann den Wagen in dessen Längsrichtung, und zwar in Richtung der Fahrt mit der Geschwindigkeit _w_. Wie rasch bzw. mit welcher Geschwindigkeit _W_ kommt der Mann relativ zum Bahndamm während des Gehens vorwärts? Die einzig mögliche Antwort scheint aus folgender Überlegung zu entspringen:

Würde der Mann eine Sekunde lang still stehen, so käme er relativ zum Bahndamm um eine der Fahrgeschwindigkeit des Wagens gleiche Strecke _v_ vorwärts. In Wirklichkeit durchmißt er aber außerdem relativ zum Wagen, also auch relativ zum Bahndamm in dieser Sekunde durch sein Gehen die Strecke _w_, welche der Geschwindigkeit seines Ganges gleich ist. Er legt also in der betrachteten Sekunde relativ zum Bahndamm im ganzen die Strecke

zurück. Später werden wir sehen, daß diese Überlegung, welche das Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik ausdrückt, nicht aufrecht erhalten werden kann, daß also das soeben hingeschriebene Gesetz in Wahrheit nicht zutrifft. Einstweilen aber werden wir auf dessen Richtigkeit bauen.

§ 7. Die scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem Relativitätsprinzip.

Es gibt kaum ein einfacheres Gesetz in der Physik als dasjenige, gemäß welchem sich das Licht im leeren Raume fortpflanzt. Jedes Schulkind weiß oder glaubt zu wissen, daß diese Fortpflanzung geradlinig mit einer Geschwindigkeit _c_ = 300000 km/Sek. geschieht. Wir wissen jedenfalls mit großer Exaktheit, daß diese Geschwindigkeit für alle Farben dieselbe ist; denn wäre dies nicht der Fall, so würde bei der Bedeckung eines Fixsternes durch seinen dunklen Begleiter das Emissionsminimum für die verschiedenen Farben nicht gleichzeitig beobachtet werden. Durch eine ähnliche, an die Beobachtungen der Doppelsterne sich knüpfende Überlegung konnte der holländische Astronom +De Sitter+ auch zeigen, daß die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit des das Licht emittierenden Körpers nicht abhängen kann. Die Annahme, daß diese Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Richtung „im Raume“ abhänge, ist an sich unwahrscheinlich.

Kurz, nehmen wir einmal an, das einfache Gesetz von der konstanten Lichtgeschwindigkeit _c_ (im Vakuum) werde von dem Schulkinde mit Recht geglaubt! Wer möchte denken, daß dieses simple Gesetz den gewissenhaft überlegenden Physiker in die größten gedanklichen Schwierigkeiten gestürzt hat? Diese Schwierigkeiten ergeben sich wie folgt.

Natürlich müssen wir den Vorgang der Lichtausbreitung wie jeden anderen auf einen starren Bezugskörper (Koordinatensystem) beziehen. Als solchen wählen wir wieder unseren Bahndamm. Die Luft über demselben wollen wir uns weggepumpt denken. Längs des Bahndammes werde ein Lichtstrahl gesandt, dessen Scheitel sich nach dem vorigen mit der Geschwindigkeit _c_ relativ zum Bahndamme fortpflanzt. Auf dem Geleise fahre wieder unser Eisenbahnwagen mit der Geschwindigkeit _v_, und zwar in derselben Richtung, in der sich der Lichtstrahl fortpflanzt, aber natürlich viel langsamer. Wir fragen nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum Wagen. Es ist leicht ersichtlich, daß hier die Betrachtung des vorigen Paragraphen Anwendung finden kann; denn der relativ zum Eisenbahnwagen laufende Mann spielt die Rolle des Lichtstrahles. Statt dessen Geschwindigkeit _W_ gegen den Bahndamm tritt hier die Lichtgeschwindigkeit gegen diesen; _w_ ist die gesuchte Geschwindigkeit des Lichtes gegen den Wagen, für welche also gilt:

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum Wagen ergibt sich also als kleiner als _c_.

Dies Ergebnis verstößt aber gegen das im § 5 dargelegte Relativitätsprinzip. Das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum müßte nämlich nach dem Relativitätsprinzip wie jedes andere allgemeine Naturgesetz für den Eisenbahnwagen als Bezugskörper gleich lauten wie für das Geleise als Bezugskörper. Das erscheint aber nach unserer Betrachtung unmöglich. Wenn sich jeder Lichtstrahl in bezug auf den Damm mit der Geschwindigkeit _c_ fortpflanzt, so scheint eben deshalb das Lichtausbreitungsgesetz in bezug auf den Wagen ein anderes sein zu müssen — im Widerspruch mit dem Relativitätsprinzip.

Im Hinblick auf dies Dilemma erscheint es unerläßlich, entweder das Relativitätsprinzip oder das einfache Gesetz der Fortpflanzung des Lichtes im Vakuum aufzugeben. Gewiß wird der Leser, der den bisherigen Ausführungen aufmerksam gefolgt ist, erwarten, daß das Prinzip der Relativität, das sich durch seine Natürlichkeit und Einfachheit dem Geiste als fast unabweislich empfiehlt, aufrecht zu erhalten sei, daß aber das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum durch ein komplizierteres, mit dem Relativitätsprinzip vereinbares Gesetz zu ersetzen sei. Die Entwickelung der theoretischen Physik zeigte aber, daß dieser Weg nicht gangbar ist. Die bahnbrechenden theoretischen Forschungen von +H. A. Lorentz+ über die elektrodynamischen und optischen Vorgänge in bewegten Körpern zeigten nämlich, daß die Erfahrungen in diesen Gebieten mit zwingender Notwendigkeit zu einer Theorie der elektromagnetischen Vorgänge führen, welche das Gesetz der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur unabweisbaren Konsequenz hat. Deshalb waren die führenden Theoretiker eher geneigt, das Relativitätsprinzip fallen zu lassen, trotzdem sich keine einzige Erfahrungstatsache auffinden ließ, welche diesem Prinzip widersprochen hätte.

[Illustration: Fig. 2.]

Unser Problem lautet in exakter Formulierung offenbar folgendermaßen. Wie groß sind die Werte _x′_, _y′_, _z′_, _t′_ eines Ereignisses in bezug auf _K′_, wenn die Größen _x_, _y_, _z_, _t_ desselben Ereignisses in bezug auf _K_ gegeben sind? Die Beziehungen müssen so gewählt werden, daß dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung des Lichtes für einen und denselben Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf _K_ +und+ _K′_ Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in der Zeichnung (Fig. 2) angegebene relative räumliche Orientierung der Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen:

x′ = (x−vt) / sqrt (1 − v²/c²)

y′ = y

z′ = z

t′ = (t − vx/c² ) / sqrt (1 − v²/c²),

welches Gleichungssystem mit dem Namen „Lorentz-Transformation“ bezeichnet wird.

Würden wir aber an Stelle des Lichtausbreitungsgesetzes die stillschweigenden Voraussetzungen der alten Mechanik von dem absoluten Charakter der Zeiten und Längen zugrunde gelegt haben, so würden wir statt dieser Transformationsgleichungen zu den Gleichungen

x′ = x − vt

y′ = y

z′ = z

t′ = t

gelangt sein, welches System man oft als „Galilei-Transformation“ bezeichnet. Die Galilei-Transformation geht aus der Lorentz-Transformation dadurch hervor, daß man in letzterer die Lichtgeschwindigkeit _c_ gleich einem unendlich großen Werte setzt.

Daß gemäß der Lorentz-Transformation das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum sowohl für den Bezugskörper _K_ wie für den Bezugskörper _K′_ erfüllt sein kann, sieht man bequem an folgendem Beispiel. Es werde ein Lichtsignal längs der positiven _x_-Achse gesandt, und es pflanze sich die Lichterregung gemäß der Gleichung

x = ct,

also mit der Geschwindigkeit _c_ fort. Gemäß den Gleichungen der Lorentz-Transformation bedingt diese einfache Beziehung zwischen _x_ und _t_ eine Beziehung zwischen _x′_ und _t′_. In der Tat liefert die erste und vierte Gleichung der Lorentz-Transformation, wenn man in dieselben für _x_ den Wert _ct_ einsetzt:

x′ = (c−v)t / sqrt (1−v²/c²)

t′ = (1−v/c)t / sqrt (1−v²/c²),

aus welchen dann durch Division unmittelbar

x′ = ct′

folgt. Nach dieser Gleichung erfolgt die Lichterregung, wenn sie auf das System _K′_ bezogen wird. Es zeigt sich also, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit auch relativ zum Bezugskörper _K′_ gleich _c_ ist. Analog ist es mit Lichtstrahlen, die sich in beliebiger anderer Richtung fortpflanzen. Dies ist natürlich nicht zu verwundern, denn die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind ja nach diesem Gesichtspunkte abgeleitet.

§ 12. Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren.

Ich lege einen Meterstab in die _x′_-Achse von _K′_ derart, daß sein Anfang in den Punkt _x′_ = 0, sein Ende in den Punkt _x′_ = 1 fällt. Welches ist die Länge des Meterstabes relativ zum System _K_? Um das zu erfahren, brauchen wir nur zu fragen, wo Stabanfang und Stabende relativ zu _K_ liegen zu einer bestimmten Zeit _t_ des Systems _K_. Man findet für diese beiden Punkte aus der ersten Gleichung der Lorentz−Transformation:

x_{(Stabanfang)} = 0 · sqrt(1−v²/c²)

x_{(Stabende)} = 1 · sqrt(1−v²/c²),

welche beiden Punkte den Abstand sqrt(1−v²/c²) haben. Relativ zu _K_ ist aber der Meterstab mit der Geschwindigkeit _v_ bewegt. Es folgt also, daß die Länge eines mit der Geschwindigkeit _v_ in seiner Längsrichtung bewegten starren Meterstabes sqrt(1−v²/c²) Meter beträgt. Der bewegte starre Stab ist also kürzer als derselbe Stab, wenn er im Zustande der Ruhe ist, und zwar um so kürzer, je rascher er bewegt ist. Für die Geschwindigkeit _v_ = _c_ wäre sqrt(1−v²/c² = 0), für noch größere Geschwindigkeiten wird die Wurzel imaginär. Wir schließen daraus, daß in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeit _c_ die Rolle einer Grenzgeschwindigkeit spielt, die durch keinen wirklichen Körper erreicht oder gar überschritten werden könnte.

Diese Rolle der Geschwindigkeit _c_ als einer Grenzgeschwindigkeit folgt übrigens bereits aus den Gleichungen der Lorentz-Transformation selbst. Denn diese werden sinnlos, wenn _v_ größer als _c_ gewählt wird.