I nove capitoli dell’arte matematica

I nove capitoli dell’arte matematica

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Prefazione al Commentario ai Nove Capitoli sull’arte matematica Liu Hui

In antico, Pao Xi fu il primo a tracciare gli otto trigrammi, per penetrare e conseguire le belle qualità del Cielo, della Terra e degli spiriti divini, e per imitare le forme e le condizioni di tutte le cose del mondo. In seguito fu creata anche l’arte della tavola del nove per nove, per accordarla con le trasformazioni delle sei linee. Fino a quando il Giallo Imperatore ne estese mirabilmente le trasformazioni; allora stabilì i principi del calendario, regolò correttamente i suoni e i sistemi musicali, per esaminare l’origine della Via, e in seguito si poterono cogliere e imitare l’essenza dei Due Principi e delle Quattro Immagini. Vi è un’antica notizia secondo cui «Li Shou fondò l’arte del calcolo», ma io non ho udito i particolari di questo fatto. Secondo quanto si può esaminare, il duca di Zhou fissò i sistemi dei riti e della musica, e tra essi vi erano i Nove Numeri; i Nove Numeri si svilupparono poi nei Nove Capitoli sull’arte matematica. In passato il crudele Qin Shi Huang bruciò i libri, causando la dispersione e la rovina delle arti canoniche. In seguito, nella dinastia Han, il marchese di Beiping Zhang Cang e il vice ministro del Gran Ministero dell’Agricoltura Geng Shouchang furono entrambi celebri nel mondo per la loro abilità nel calcolo. Zhang Cang e gli altri, basandosi sui frammenti incompleti degli antichi testi rimasti, li tagliarono, li integrarono e li completarono. Perciò il suo indice differisce leggermente dalle versioni antiche, mentre l’esposizione impiega spesso il linguaggio dei tempi più recenti. Io studiai i Nove Capitoli sull’arte matematica da bambino, e da adulto li esaminai di nuovo in modo dettagliato. Osservando le distinzioni tra il diritto e il rovescio delle cose, riassunsi le radici del calcolo; mentre esploravo questi principi profondi e misteriosi, compresi gradualmente il pensiero che vi era contenuto. Allora, con temeraria modestia, esaurii la mia ottusa capacità, raccolsi i materiali che avevo visto e ne feci un commentario. Tra le cose è possibile procedere per analogia reciproca, e ciascuna ha la propria appartenenza. Perciò, sebbene i rami siano separati, possiedono un unico tronco: ciò avviene perché nascono da uno stesso inizio. Inoltre, se si analizzano i principi numerici con le parole e si spiegano i solidi mediante figure, l’opera diviene semplice e al tempo stesso completa, scorrevole e non prolissa; chi la legge potrà comprenderne più della metà. L’arte del calcolo appartiene a una delle Sei Arti; nell’antichità serviva a promuovere gli uomini capaci e a educare i figli della nobiltà. Benché sia chiamata Nove Numeri, può giungere al piccolissimo e al sottilissimo, e investigare ciò che è senza fine. Quanto ai metodi trasmessi, essi esistono come squadre, compassi, misure e pesi, e hanno carattere comune; perciò studiarli non è cosa molto difficile. Oggi vi sono pochi che amino l’arte del calcolo; perciò, anche se nel mondo vi sono molti uomini di vasta erudizione, non necessariamente la padroneggiano. Nel Rito dei Zhou è stabilito che uno dei compiti del Grande Situ sia, a mezzogiorno del giorno del solstizio d’estate, innalzare un’asta lunga 8 chi, e fissare come centro della terra il luogo in cui la lunghezza dell’ombra è di 1 chi e 5 cun. Nel Commentario al Rito dei Zhou si dice che in quel momento il sole si trova a 15.000 li verso sud. Questa conclusione può essere calcolata mediante un procedimento. Secondo quanto si può esaminare, nei Nove Capitoli sull’arte matematica vi sono metodi per erigere quattro aste e calcolare le distanze, e per determinare l’altezza di un monte in base agli alberi; tutti questi metodi stabiliscono oggetti di riferimento vicini in corrispondenza tra loro, e non hanno ancora distanze così remote. Da ciò si vede che i metodi di calcolo di Zhang Cang e degli altri non bastano a comprendere tutti i metodi matematici. Io ho trovato nei Nove Numeri una voce chiamata “differenze duplicate”; il suo intento originario era appunto risolvere questioni di questo genere. In tutti i casi in cui si misurano cose altissime o profondissime e se ne cercano le distanze vicine o lontane, bisogna usare le differenze duplicate e il gougu. Poiché occorre prendere come rapporto la differenza tra due cateti corrispondenti di triangoli rettangoli, il metodo è chiamato “differenze duplicate”. Nella città di Luoyang si innalzino due aste alte 8 chi, poste nella stessa superficie orizzontale in direzione nord-sud. Si misurino le loro ombre a mezzogiorno dello stesso giorno. Si prenda la differenza tra le lunghezze delle ombre come divisore; l’altezza dell’asta moltiplicata per la distanza tra le aste come dividendo; si divida il dividendo per il divisore, e al numero ottenuto si aggiunga l’altezza dell’asta: questo è la distanza del sole dalla superficie terrestre. Si moltiplichi l’ombra dell’asta meridionale per la distanza tra le aste, come dividendo, mantenendo invariato il divisore: il risultato è la distanza tra l’asta meridionale e il punto su cui il sole cade perpendicolarmente. Prendendo rispettivamente questa distanza e la distanza del sole dal suolo come gou e gu, la corda ottenuta è la distanza tra il sole e l’uomo. Se si osserva il sole verso sud attraverso un tubo di bambù del diametro di 1 cun, la luce solare riempie lo spazio interno del tubo. Si prenda la lunghezza del tubo come rapporto del gu, il diametro del tubo come rapporto del gou, e la distanza tra il sole e l’uomo come grande gu; il gou corrispondente al grande gu è il diametro del sole. Se perfino i fenomeni celesti possono essere misurati, quanto più l’altezza del monte Tai e la larghezza dei fiumi e dei mari! Io ritengo che gli annali storici di oggi abbiano già alcune registrazioni delle cose comprese tra Cielo e Terra, e ne discutano le quantità, registrandole nei trattati e mostrando la meraviglia dell’arte del calcolo nel mondo. Perciò ho scritto le Differenze duplicate e le ho commentate, per indagare il significato originario degli antichi, allegandole dopo il capitolo Gougu. Per misurare l’altezza si usano due aste; per misurare la profondità si usano più volte le squadre; per un punto di misura isolato occorrono tre osservazioni; per un punto isolato e che richieda la soluzione di altri problemi occorrono quattro osservazioni. Se si sa comprendere per analogia, anche i problemi profondi, remoti e nascosti non avranno nulla che non possa essere risolto. O nobili uomini di vasta cultura, leggete attentamente questo libro.

Commentario di Liu Hui, Wei Commentario redatto per ordine imperiale da Li Chunfeng e altri, dignitari consultivi della dinastia Tang, reggenti l’Ufficio del Grande Astrologo e cavalieri del carro leggero Campi rettangolari. Commento di Liu Hui: servono a determinare i confini e l’estensione dei campi agricoli. Ora vi è un campo largo 15 bu e lungo 16 bu. Si domanda: qual è l’area del campo? Risposta: 1 mu. Vi è inoltre un campo largo 12 bu e lungo 14 bu. Si domanda: qual è l’area del campo? Regola per l’area dei campi rettangolari: si moltiplicano tra loro i numeri di bu della larghezza e della lunghezza, ottenendo i bu accumulati. Commento di Liu Hui: questo prodotto è chiamato potenza del campo. Ogni volta che lunghezza e larghezza si moltiplicano, si chiama potenza. Commento di Li Chunfeng: i Nove Capitoli sull’arte matematica dicono: «Si moltiplicano i numeri di bu della larghezza e della lunghezza, ottenendo i bu accumulati»; il commento di Liu Hui dice: «Ogni volta che lunghezza e larghezza si moltiplicano, si chiama potenza». Osservando il significato del commento, prodotto e potenza sembrano avere lo stesso significato. Ma secondo la deduzione razionale non dovrebbe essere così. Perché? La potenza è la figura ottenuta quando un rettangolo si muove in una sola direzione; il prodotto, invece, è il risultato dell’accumularsi dei numeri. Considerandoli secondo i loro nomi, i due sono del tutto diversi. Se li si considera uguali, ritengo che non sia possibile. Ora, quando si parla di potenza, si intende sempre il rettangolo dotato di lato largo e lato lungo; quando si parla di prodotto, si intende sempre il numero totale dei bu. I Nove Capitoli sull’arte matematica dicono: «Moltiplicandoli si ottengono i bu accumulati», il che spiega chiaramente che si tratta di accumulazione numerica. Il commento di Liu Hui dice: «Moltiplicandoli si chiama potenza», e ciò va contro il significato originario del prodotto dei bu. La prima metà del commento, «questo prodotto è chiamato potenza del campo», è sostanzialmente ragionevole; la seconda metà, «ogni volta che lunghezza e larghezza si moltiplicano, si chiama potenza», è invece insieme prolissa e inappropriata. Ora, nel fare il commento, bisogna conservare il corretto, eliminare l’errato e operare una certa scelta, affinché gli studiosi posteriori possano farvi riferimento. Dividendo i bu accumulati per la regola di conversione del mu, cioè 240 bu quadrati, si ottiene il numero di mu. 100 mu formano 1 qing. Commento di Li Chunfeng: qui è l’inizio del libro, perciò vengono espressamente indicati i metodi di conversione tra mu e qing. Nel seguito non saranno più ripetuti. In un campo di 1 mu, largo 15 bu, lo si divide longitudinalmente in 15 file, ciascuna larga 1 bu e lunga 16 bu. Poi lo si seziona trasversalmente, dividendolo in 16 file, ciascuna larga 1 bu e lunga 15 bu. Così, dopo la divisione longitudinale e il taglio trasversale, si formano rispettivamente quadrati, per un totale di 240 bu quadrati. In un campo di 1 mu, il numero dei bu quadrati coincide con il numero dei quadrati. Perciò si verifica che moltiplicando la larghezza per la lunghezza si ottengono i bu accumulati. 240 bu quadrati è la regola di conversione del mu, e 100 mu è la regola di conversione del qing. Dividendo i bu accumulati per essi si ottiene il risultato. Ora vi è un campo largo 1 li e lungo 1 li. Si domanda: qual è l’area del campo? Risposta: 3 qing e 75 mu. Vi è inoltre un campo largo 2 li e lungo 3 li. Si domanda: qual è l’area del campo? Risposta: 22 qing e 50 mu. Regola per i campi rettangolari, con il li quadrato come unità di area: si moltiplicano tra loro il numero di li della larghezza e quello della lunghezza, ottenendo i li accumulati. Si moltiplica per 375, ottenendo il numero di mu. Commento di Liu Hui: moltiplicando la larghezza e la lunghezza in li si ottengono i li accumulati. Un li quadrato contiene 3 qing e 75 mu; moltiplicandolo per i li accumulati si ottiene il numero di mu. Ora vi sono dodici diciottesimi. Si domanda: a quanto si riducono? Risposta: a due terzi. Vi sono inoltre quarantanove novantunesimi. Si domanda: a quanto si riducono? Risposta: a sette tredicesimi. Riduzione delle frazioni. Commento di Liu Hui: la ragione della riduzione delle frazioni è che la quantità delle cose non può essere sempre intera, e allora bisogna esprimerla con frazioni. Una frazione, in quanto numero, se è troppo complessa diventa difficile da usare. Per esempio, due quarti hanno come forma prolissa quattro ottavi, e come forma semplificata un mezzo. Sebbene le forme di espressione siano diverse, il valore numerico è lo stesso. Il denominatore e il numeratore si calcolano reciprocamente e spesso presentano casi diversi; perciò, prima di calcolare, bisogna procedere alla riduzione. Regola: se denominatore e numeratore possono essere ridotti alla metà, li si riduce alla metà. Se non possono essere ridotti alla metà, si calcolano accanto denominatore e numeratore: il numero grande sottrae il piccolo, e si ripete la sottrazione finché si trova il loro numero comune. Si usa questo numero comune per ridurre la frazione. Commento di Liu Hui: ridurre mediante il numero comune significa dividere. Il motivo per cui si sottraggono ripetutamente è che entrambi sono sovrapposizioni del numero comune. Perciò bisogna ridurli mediante il numero comune. Ora vi sono un terzo e due quinti. Si domanda: sommati, quanto danno?

Miglio e riso. Commento di Liu Hui: serve a trattare le conversioni negli scambi. Rapporti di conversione dei cereali. Commento di Liu Hui: i rapporti seguenti sono reciprocamente collegati e comunicanti; se si vuole effettuare una conversione specifica, bisogna seguire il rapporto corrispondente. Quelli che possono essere ridotti devono essere ridotti. Lo stesso vale per le altre conversioni. Rapporto del miglio 50; riso grezzo 30. Riso decorticato 27; riso raffinato 24. Riso da tributo 21; farina 13 e mezzo. Crusca di frumento 54; riso grezzo cotto 75. Riso decorticato cotto 54; riso raffinato cotto 48. Riso da tributo cotto 42; soia, fagioli rossi, sesamo e frumento ciascuno 45. Riso non mondato 60; fagioli fermentati 63. Cibo cotto 90; soia cotta 103 e mezzo. Malto di frumento 175. Regola generale. Commento di Liu Hui: questa è la regola di uso universale. Tutti i problemi dei vari capitoli dei Nove Capitoli sull’arte matematica possono usare i rapporti. Questo è ciò che si intende dicendo che dal passato si può dedurre il futuro, e da un esempio se ne possono comprendere tre. Se si sanno analizzare i problemi matematici complessi, sciogliere gli impedimenti reciproci, stabilire i rapporti di ciascun oggetto secondo la sua natura, distinguere le loro relazioni, equilibrare le inclinazioni e uniformare le disuguaglianze, tutto può sempre ricondursi a questa regola. Regola: si moltiplica il numero complessivo per il rapporto cercato, come dividendo, e si prende il rapporto complessivo come divisore. Commento di Liu Hui: il poco è l’inizio del molto, l’1 è il fondamento dei numeri, perciò tutti i rapporti devono potersi ridurre a 1. Secondo il rapporto del miglio 5 e del riso grezzo 3, miglio 5 può essere ridotto a 1, e riso grezzo 3 può essere ridotto a 1. Se si vuole trasformare il miglio in riso grezzo, prima si trasforma il miglio in 1. Per trasformare 5 in 1, bisogna ridurre dividendo per 5. Finito ciò, lo si moltiplica per 3, trasformando 1 in 3. Così il rapporto si riduce a 1, e 5 viene trasformato in 3. Tuttavia, se si fa prima la divisione e poi la moltiplicazione, il resto può contenere una frazione; perciò nella regola si inverte l’ordine delle operazioni. Espresso con interi, 5 sheng di miglio possono essere convertiti in 3 sheng di riso grezzo; espresso con frazioni, 1 dou di miglio può essere convertito in tre quinti di dou di riso grezzo. 5 è il denominatore, 3 il numeratore. Nel convertire il miglio in riso grezzo, si moltiplica per il numeratore e poi si effettua la divisione di compensazione con il denominatore. Tuttavia il rapporto cercato è spesso preso come denominatore. Commento di Li Chunfeng: dovrebbe essere: «Il rapporto cercato è spesso preso come numeratore, e il rapporto complessivo è spesso preso come denominatore». Qui dire che «il rapporto cercato è spesso preso come denominatore» è errato. Si divide il dividendo per il divisore. Ora vi è 1 dou di miglio, e lo si vuole cambiare in riso grezzo. Si domanda: quanto si può ottenere? Risposta: si ottengono 6 sheng di riso grezzo. Metodo di conversione: per cambiare miglio in riso grezzo, si moltiplica per 3 e si divide per 5. Commento di Li Chunfeng: nel metodo generale di conversione, il numero complessivo moltiplicato per il rapporto cercato è il dividendo, e il rapporto complessivo è il divisore. Questo problema chiede di cambiare miglio in riso grezzo, perciò il miglio è il numero complessivo. 3 è il rapporto del riso grezzo, perciò 3 è il rapporto cercato. 5 è il rapporto del miglio, perciò 5 è il rapporto complessivo. Il rapporto del miglio è 50, quello del riso grezzo 30; arretrando di una posizione e riducendo, perciò si dice 3 e 5. Ora vi sono 2 dou e 1 sheng di miglio, e lo si vuole cambiare in riso decorticato. Si domanda: quanto si può ottenere? Risposta: 1 dou, 1 sheng e diciassette cinquantesimi di sheng di riso decorticato. Metodo di conversione: per cambiare miglio in riso decorticato, si moltiplica per 27 e si divide per 50. Commento di Li Chunfeng: il rapporto del riso decorticato è 27, perciò si moltiplica direttamente per 27 e si divide per 50.