Os Nove Capítulos da Arte Matemática

Os Nove Capítulos da Arte Matemática

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Prefácio às Anotações aos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática Liu Hui Antigamente, Fuxi foi o primeiro a traçar os oito trigramas, para compreender e obter as belas qualidades do Céu, da Terra e dos seres divinos, e para imitar as formas e condições de todas as coisas do mundo. Mais tarde, criou-se também a técnica da tabuada do nove vezes nove, para corresponder às transformações das seis linhas. Até que o Imperador Amarelo, de modo maravilhoso, estendeu essas transformações; assim se estabeleceram os princípios e normas do calendário e se corrigiram as escalas musicais, a fim de investigar a origem do Dao. Depois disso, pôde-se obter e tomar como modelo a essência das duas forças primordiais e das quatro imagens. Houve registros que diziam: “Li Shou fundou a matemática”, mas eu nunca ouvi os pormenores desse acontecimento. Conforme se verifica: o duque de Zhou instituiu os sistemas de ritos e música, nos quais havia os Nove Números; esses Nove Números desenvolveram-se posteriormente nos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática. No passado, o tirânico Qin Shihuang queimou os livros, causando a dispersão e a ruína dos clássicos e das artes. Mais tarde, na dinastia Han, Zhang Cang, marquês de Beiping, e Geng Shouchang, vice-ministro do Grande Ministro da Agricultura, tornaram-se célebres no mundo por sua habilidade em matemática. Zhang Cang e os demais, com base nos textos antigos remanescentes e incompletos, fizeram cortes, emendas e acréscimos. Por isso, o seu índice difere um pouco das versões antigas, e as exposições empregam em grande parte a linguagem de tempos mais recentes. Quando eu era criança, estudei os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática; ao crescer, voltei a investigá-los minuciosamente. Observando as diferenças entre o direto e o inverso nas coisas, resumi a origem do cálculo e, ao explorar esses princípios profundos e misteriosos, fui aos poucos compreendendo o pensamento neles contido. Então, presunçosamente, esgotei minha limitada inteligência, reuni os materiais que vi e fiz anotações para a obra. As coisas podem ser inferidas umas das outras por analogia, e cada uma possui sua própria categoria. Assim, embora os ramos se separem, têm um mesmo tronco, pois procedem de uma mesma origem. Além disso, se se analisam os princípios numéricos por meio das palavras e se explicam os sólidos por meio de figuras, a obra se torna simples e completa, clara e não prolixa, de modo que quem a ler poderá compreender mais da metade de seu conteúdo. A matemática pertence a uma das Seis Artes; na Antiguidade, era usada para promover os homens capazes e educar os filhos da nobreza. Embora seja chamada de Nove Números, pode chegar ao extremamente pequeno e sutil, e investigar o infinito e inesgotável. Quanto aos métodos transmitidos, existem como regras, esquadros e medidas, possuindo caráter comum; por isso, estudá-los não é algo muito difícil. Atualmente, há poucos que amam a matemática; assim, embora no mundo haja muitos homens de vasto saber, nem sempre são versados nela. No Zhouli, uma das funções do Grande Situ é, ao meio-dia do solstício de verão, erguer uma haste de 8 chi de comprimento e tomar como centro da Terra o lugar onde a sombra tem 1 chi e 5 cun. Nas Anotações ao Zhouli se diz que, nesse momento, o Sol está a 15.000 li ao sul. Essa conclusão pode ser calculada por meio de um procedimento. Conforme se verifica: nos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática há métodos para determinar distâncias erguendo quatro hastes e para calcular a altura de uma montanha a partir de árvores; todos eles colocam referências próximas em correspondência, e ainda não tratam de distâncias tão remotas. Vendo isso, os métodos de cálculo de Zhang Cang e dos demais não bastam para abranger todos os métodos matemáticos. Descobri que, entre os Nove Números, há o item “dupla diferença”; seu propósito original era resolver problemas desse tipo. Em todos os casos em que se medem alturas extremas, profundidades extremas e se procuram suas distâncias, é necessário usar a dupla diferença e o gougu. Como se deve tomar duas vezes a diferença entre lados correspondentes aos catetos como razão, chama-se “dupla diferença”. Na cidade de Luoyang, erguem-se duas hastes, de 8 chi de altura, fazendo-as ficar na mesma superfície horizontal no sentido norte-sul. Ao meio-dia do mesmo dia, medem-se os comprimentos de suas sombras. Toma-se a diferença entre as sombras como divisor; a altura da haste multiplicada pela distância entre as hastes como dividendo; divide-se o dividendo pelo divisor, e ao número obtido soma-se a altura da haste: esse é o afastamento do Sol em relação ao solo. Multiplica-se a sombra da haste meridional pela distância entre as hastes como dividendo, mantendo-se o mesmo divisor; o resultado é a distância da haste meridional ao ponto onde o Sol incide verticalmente. Tomando, respectivamente, a distância da haste meridional ao ponto de incidência vertical do Sol e a distância do Sol ao solo como gou e gu, a hipotenusa obtida é a distância do Sol ao homem. Observando o Sol para o sul através de um tubo de bambu de 1 cun de diâmetro, a luz solar preenche todo o espaço dentro do tubo. Toma-se o comprimento do tubo como razão do gu, o diâmetro do tubo como razão do gou, a distância do Sol ao homem como grande gu; o gou correspondente ao grande gu é o diâmetro do Sol. Se até os fenômenos celestes podem ser medidos, quanto mais a altura do monte Tai e a largura dos rios e mares! Considero que os registros históricos atuais já têm algumas anotações sobre as coisas entre o Céu e a Terra, e examinam suas quantidades, registrando-as nos tratados, mostrando a maravilha da matemática no mundo. Por isso escrevi a Dupla Diferença e fiz anotações para ela, a fim de investigar o sentido original dos antigos, anexando-a depois do capítulo Gougu. Para medir alturas, usam-se duas hastes; para medir profundidades, usam-se repetidamente esquadros; para um ponto de medição isolado, são necessárias três observações; para um ponto isolado que ainda exija resolver outros problemas, são necessárias quatro observações. Se se compreenderem as coisas por analogia, mesmo os problemas profundos, remotos e ocultos não deixarão de poder ser resolvidos. Senhores instruídos, leiam cuidadosamente este livro.

Anotado por Liu Hui, do reino de Wei Anotado por ordem imperial por Li Chunfeng e outros, ministro consultivo da dinastia Tang, em exercício como diretor do Grande Escritório Astronômico, portador do título de shang qingche duwei Campos retangulares (Anotação de Liu Hui: serve para determinar os limites e a extensão das terras agrícolas.) Agora há um campo com largura de 15 bu e comprimento de 16 bu. Pergunta-se: qual é a área do campo? Resposta: 1 mu. Há ainda um campo com largura de 12 bu e comprimento de 14 bu. Pergunta-se: qual é a área do campo? Regra para a área de um campo retangular: multiplicam-se os números de bu da largura e do comprimento, obtendo-se os bu acumulados. (Anotação de Liu Hui: esse produto chama-se potência do campo. Sempre que comprimento e largura se multiplicam, chama-se potência. Anotação de Li Chunfeng: Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática dizem: “multiplicam-se os números de bu da largura e do comprimento, obtendo-se os bu acumulados”; a anotação de Liu Hui diz: “sempre que comprimento e largura se multiplicam, chama-se potência”. Observando o sentido da anotação, produto acumulado e potência têm o mesmo significado. Mas, segundo a razão, não deveria ser assim. Por quê? Potência é a figura obtida pelo deslocamento de um retângulo numa única direção; produto acumulado, porém, é o resultado da acumulação de números. Considerando os nomes, os dois são completamente diferentes. Se forem tomados como iguais, creio que isso não é admissível. Agora, quando se fala em potência, refere-se sempre ao retângulo que possui lados de largura e comprimento; quando se fala em produto acumulado, refere-se sempre ao número total de bu. Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática dizem “multiplicam-se para obter bu acumulados”, o que explica claramente tratar-se da acumulação de números. A anotação de Liu Hui diz “multiplicam-se e chama-se potência”, contrariando o sentido original do produto dos números de bu. A primeira parte da anotação, “esse produto chama-se potência do campo”, é basicamente razoável; a segunda parte, “sempre que comprimento e largura se multiplicam, chama-se potência”, é ao mesmo tempo prolixa e inadequada. Ao fazer agora a anotação, deve-se conservar o correto, eliminar o errado e fazer certa seleção, para referência dos estudantes posteriores.) Divide-se o número de bu acumulados pela regra de conversão do mu, 240 bu quadrados, obtendo-se o número de mu. 100 mu formam 1 qing. (Anotação de Li Chunfeng: aqui está o início deste livro, por isso se apresentam especialmente as regras de conversão de mu e qing. Mais adiante, elas não serão repetidas. Um campo de 1 mu, com largura de 15 bu, dividido longitudinalmente em 15 faixas, cada uma de 1 bu de largura e 16 bu de comprimento. Em seguida, corta-se transversalmente, dividindo em 16 faixas, cada uma de 1 bu de largura e 15 bu de comprimento. Assim, depois da divisão longitudinal e do corte transversal, formam-se quadrados, ao todo 240 bu quadrados. Em um campo de 1 mu, o número de bu quadrados é o mesmo que o número de quadrados. Desse modo, verifica-se que multiplicar os números de bu da largura e do comprimento dá os bu acumulados. 240 bu quadrados é a regra de conversão do mu, e 100 mu é a regra de conversão do qing. Dividindo os bu acumulados por elas, obtém-se o resultado.) Agora há um terreno com largura de 1 li e comprimento de 1 li. Pergunta-se: qual é a área do terreno? Resposta: 3 qing e 75 mu. Há ainda um terreno com largura de 2 li e comprimento de 3 li. Pergunta-se: qual é a área do terreno? Resposta: 22 qing e 50 mu. Regra para campos retangulares usando o li quadrado como unidade de área: multiplicam-se os números de li da largura e do comprimento, obtendo-se li acumulados. Multiplicando-os por 375, obtém-se o número de mu. (Anotação de Liu Hui: multiplicam-se os números de li da largura e do comprimento, obtendo-se li acumulados. Um li quadrado tem 3 qing e 75 mu; multiplicando isso pelos li acumulados, obtém-se o número de mu.) Agora há doze dezoito avos. Pergunta-se: quanto se obtém ao reduzir? Resposta: dois terços. Há ainda quarenta e nove noventa e um avos. Pergunta-se: quanto se obtém ao reduzir? Resposta: sete treze avos. Regra de redução de frações (Anotação de Liu Hui: a razão da redução de frações é que a quantidade dos objetos não pode ser sempre inteira; nesses casos, deve-se expressá-la por frações. Uma fração, enquanto número, se for demasiado complicada, torna-se difícil de usar. Por exemplo, dois quartos: uma forma complicada de expressá-la é quatro oitavos; uma forma simples é um meio. Embora as formas de expressão sejam diferentes, o valor numérico é o mesmo. Denominador e numerador, ao serem calculados mutuamente, muitas vezes apresentam situações diferentes; por isso, antes do cálculo, é necessário primeiro reduzir a fração.): se denominador e numerador puderem ser reduzidos à metade, reduzem-se à metade. Se não puderem ser reduzidos à metade, calcula-se à parte o denominador e o numerador: subtrai-se o menor número do maior, repetindo a subtração até obter o número comum. Usa-se esse número comum para reduzir a fração. (Anotação de Liu Hui: reduzir por meio do número comum é dividir. A razão de se repetirem as subtrações é que ambos são acumulações do número comum. Por isso, é necessário reduzi-los por meio do número comum.) Agora há um terço e dois quintos. Pergunta-se: quanto dá sua soma?

Milheto e arroz (Anotação de Liu Hui: usado para tratar conversões em transações.) Taxas de conversão dos cereais (Anotação de Liu Hui: as taxas abaixo estão relacionadas e comunicam-se entre si; se for necessário fazer uma conversão específica, deve-se seguir a taxa correspondente. Aquilo que puder ser reduzido deve ser reduzido. As outras conversões também são assim.) Taxa do milheto: 50; arroz integral: 30 Arroz polido grosso: 27; arroz refinado: 24 Arroz de tributo: 21; farinha: 13 e meio Farelo de trigo: 54; arroz integral cozido: 75 Arroz polido grosso cozido: 54; arroz refinado cozido: 48 Arroz de tributo cozido: 42; soja, feijão-miúdo, gergelim e trigo: cada um 45 Arroz em casca: 60; soja fermentada: 63 Sūn: 90; soja cozida: 103 e meio Malte de trigo: 175 Regra do “agora há” (Anotação de Liu Hui: esta é a regra de uso geral. Todos os problemas dos diversos capítulos dos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática podem empregar taxas. É o chamado princípio de, com base no passado, poder inferir o futuro, e, ao levantar um caso, compreender três. Se se puder analisar problemas matemáticos complexos, desobstruir os bloqueios entre eles, determinar as respectivas taxas segundo os objetos, distinguir suas relações, equilibrar os desvios e nivelar as desigualdades, então tudo poderá sempre ser reduzido a esta regra.): todos os números multiplicados pela taxa procurada tornam-se o dividendo; todas as taxas tornam-se o divisor. (Anotação de Liu Hui: o pouco é o começo do muito, e 1 é a base dos números; por isso, todas as taxas devem poder ser convertidas em 1. De acordo com a taxa do milheto 5 e a taxa do arroz integral 3, isto significa que 5 de milheto podem ser reduzidos a 1, e 3 de arroz integral podem ser reduzidos a 1. Se se quiser transformar milheto em arroz integral, primeiro se transforma o milheto em 1. Para fazer 5 transformar-se em 1, é preciso reduzi-lo por 5. Concluído isso, multiplica-se por 3, fazendo 1 transformar-se em 3. Assim, convertendo a taxa em 1, faz-se 5 transformar-se em 3. Contudo, se se faz primeiro a divisão e depois a multiplicação, o resto pode conter fração; por isso, na regra, inverte-se a ordem das operações. Em números inteiros, 5 sheng de milheto podem ser convertidos em 3 sheng de arroz integral; em fração, 1 dou de milheto pode ser convertido em três quintos de dou de arroz integral. 5 é o denominador, 3 é o numerador. Para converter milheto em arroz integral, multiplica-se pelo numerador e depois se responde dividindo pelo denominador. Entretanto, a taxa procurada costuma ser tomada como denominador. Anotação de Li Chunfeng: deveria ser “a taxa procurada costuma ser tomada como numerador, e a taxa total costuma ser tomada como denominador”. A frase aqui, “a taxa procurada costuma ser tomada como denominador”, está errada.) Divide-se o dividendo pelo divisor. Agora há 1 dou de milheto, e deseja-se trocá-lo por arroz integral. Pergunta-se: quanto se pode obter? Resposta: obtêm-se 6 sheng de arroz integral. Método de conversão: para trocar milheto por arroz integral, multiplica-se por 3 e divide-se por 5. (Anotação de Li Chunfeng: no método geral de conversão, todos os números multiplicados pela taxa procurada tornam-se o dividendo, e todas as taxas tornam-se o divisor. Neste problema, deseja-se trocar milheto por arroz integral; portanto, o milheto é o número total. 3 é a taxa do arroz integral, por isso 3 é a taxa procurada. 5 é a taxa do milheto, por isso 5 é a taxa total. A taxa do milheto é 50, e a taxa do arroz integral é 30; reduzindo uma casa, por isso se diz 3 e 5.) Agora há 2 dou e 1 sheng de milheto, e deseja-se trocá-lo por arroz polido grosso. Pergunta-se: quanto se pode obter? Resposta: obtêm-se 1 dou, 1 e dezessete cinquenta avos sheng de arroz polido grosso. Método de conversão: para trocar milheto por arroz polido grosso, multiplica-se por 27 e divide-se por 50. (Anotação de Li Chunfeng: a taxa do arroz polido grosso é 27; por isso, multiplica-se diretamente por 27 e divide-se por 50.)